韩信点兵的故事

有一句歇后语叫：韩信点兵，多多益善！讲的是韩信的一个历史故事，这个故事也蕴含了深奥的数学道理，是孩子们需要学习的地方。

韩信点兵的故事

刘邦称帝后，韩信被刘邦封为楚王，不久，刘邦接到密告，说韩信接纳了项羽的旧部钟离昧，准备谋反。于是，他采用谋士陈平的计策，假称自己准备巡游云梦泽，要诸侯前往陈地相会。

韩信知道后，杀了钟离昧来到陈地见刘邦，刘邦便下令将韩信逮捕。押回洛阳。回到洛阳后，刘邦知道韩信并没谋反的事，又想起他过去的战功，便把他贬为淮阴侯。

韩信心中十分不满，但也无可奈何。刘邦知道韩信的心思，有一天把韩信召进宫中闲谈，要他评论 一下朝中各个将领的才能，韩信一一说了。当然，那些人都不在韩信 的眼中。

刘邦听了，便笑着问他：“依你看来，像我能带多少人马？”“陛下能带十万。”韩信回答。 刘邦又问：“那你呢？”“对我来说，当然越多越好”。

刘邦笑着说：“你带兵多多益善，怎么会被我逮住呢？” 韩信知道自己说错了话，忙掩饰说：“陛下虽然带兵不多，但有驾驭将领的能力啊！” 刘邦见韩信降为淮阴侯后仍这么狂妄，心中很不高兴。

后来，刘邦再次出征，刘邦的妻子吕后终于设计杀害了韩信。

韩信点兵的数学原理

韩信点兵是一个有趣的游戏，如果你随便拿一把棋子（数目在100粒左右），先3粒3粒数，不满3粒的记下余数；再5粒5粒数，不满5粒的记下余数；最后7粒7粒地数，也把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿的棋子总共有多少。

如：3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么原有棋子是多少呢？

它的算法很简单，而且在我国古代就有。宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而“韩信点兵”是较通行的名称。至于它的算法，在《孙子算经》上早有说明，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫“大衍一术”。这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题。

那么到底怎样来计算呢？

A×70+b×21+c×15-105

其中a、b、c分别为3个、5个、7个一数的余数。如果得出数还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止。

因此你可以很容易地知道，前面问题的答案了

1×70+2×21+2×15-105=37（粒）。

那么“韩信点兵”里为什么要3个一数，5个一数，7个一数呢？周其它的数可以吗？我们先研究一下“韩信点兵”的解法“70a+21b+15c-105”。

我们先来看一下70、21、15、105这4个数和3、5、7之间的关系：

（1）70=2×5×7，70=3×23+1，所以70是5和7的一个公倍数，它被3除后余数是1.

（2）同理，21是3与7的一个公倍数，它被5除后余数是1.

（3）15是3与5的一个公倍数，它被7除后余数是1.

（4）105=3×5×7，是3、5、7的最小公倍数。

根据上面的这些关系，“70a+21b+15c-105”确实是所求的得数。所以，70a+21b+15c-105被3除的余数是1。据同样的道理，这个数被5除后的余数是2，被7除后余数是2。

那么，“韩信点兵”里为什么要用3、5、7这三个数呢？我们知道，3、5、7中任意两个数的最大公约数都是1，也就是说是两两互素。于是就可以找到这样一个数，是3、5、7其中两个数的公倍数，而被另一个数除后余数是1，类似70、21、15。这也就是“韩信点兵”中的三个数的要求。

那么不是两两互素的数，是不是就一定找不到类似70、21、15的数呢？如4、6、7这三个数，4与6不是互素，它们的最大公约数是2，而6与7的任何一个公倍数都是偶数，被偶数4除后的余数也一定是偶数，而不可能是1，所以是找到与70、21、15相当的三个数的。因此在“韩信点兵”里就不能用。

我们也可以不用3、5、7这三个数，而换成其它两两互素的数，如2、3、11.这时的计算式是“33a+22b+12c-66”。不信的话，你可以用上文中的例子试一试，看是不是37粒。

韩信点兵有啥寓意

韩信点兵，多多益善。是夸奖韩信，统兵驭人的能力很强，不管有多少士兵，他都能管理好。

很多人会有疑问：难道不是管理的人越多越好吗？

事实上一支军队，超过一定规模数量，管理的难度成几何倍增加。

一个班十个人，只要班长个人能力强，做好表率，这个班绝对没有问题。

一个连一百人，只要连长指挥得当，处事公平公正，这个连也能蒸蒸日上。

一个团一千人，团长已经无法指挥过来，必须借助机关，才能推行自己的指令。当然，这时团长的个人素质，依然很重要。

一个军一万人，就不只是建战斗力的问题，还有思想政治、组织保卫、装备后勤、群众工作、对外联络等等问题。这时候的军长，光处理每天涌现的新问题，时间都不够用。

一个战役军团十万人，那就不仅仅是打仗的问题。所谓人上一万，必有坏蛋。除了自身建设，还得考虑防间保密、人才建设、政治因素等等。

有的人当一个团长很称职，但当了师长军长，能力素质就显得捉襟见肘。而韩信则不同，10万的兵他能够驾驭，100万也不在话下。由此可见，韩信的能力素质是多么强。

当然与刘邦相比，韩信只是军事才能突出，而在将将方面，也就是政治上，刘邦是大学生，韩信只是小学生了。

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