2013年上海高考数学试题及试卷答案解析

2013年上海高考数学试题(文科)及试卷答案解析

2013年上海市高考数学试题（文科）及部分解析

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1．不等式的解为．（0,1/2）

2．在等差数列中，若，则．15

3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．

【解答】．

4．若，则．3

5．已知的内角、、所对的边分别是，．若，则角的大小是（结果用反三角函数值表示）．

6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．78

7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则．

【解答】。

故．

8．方程的实数解为．

9．若，则．

10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则．

11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．

【解答】7个数4个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．

12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，则的两个焦点之间的距离为．

【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．

13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．

14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是．-2

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15．函数的反函数为，则的值是（）

（a）（b）（c）（d）

16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（）

（a）（b）（c）（d）

【解答】集合a讨论后利用数轴可知，或，解答选项为b．

17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（a）

（a）充分条件（b）必要条件

（c）充分必要条件（d）既非充分又非必要条件

18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（d）

暂无ab选项！c、2d、

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．

【解答】

20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．

（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；

（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．

【解答】（1）每小时生产克产品，获利。

生产千克该产品用时间为，所获利润为.

（2）生产900千克该产品，所获利润为

所以，最大利润为元。

21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数，其中常数．

（1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．

【解答】（1）

是非奇函数非偶函数。

∵，∴

∴函数是既不是奇函数也不是偶函数。

（2）时。

其最小正周期

由，得。

∴，即

区间的长度为10个周期。

若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；

若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；

故当时，21个，否则20个。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

已知函数．无穷数列满足．

（1）若，求。

（2）若，且，成等比数列，求的值；

（3）是否存在，使得，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

如图，已知双曲线：曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．

（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；

（3）求证：圆内的点都不是“型点”．