虚数单位的实质是什么（虚数单位）

1、i是虚数单位，i^2=(-i)^2=-1，不是等于1 i和-i就像1和-1一样，是有区别的，在复变函数中，对复数的研究和复平面是分不开的，任意一个复数z=x+iy，其中x叫做实部，y叫做虚部，x和y都是实数，x+iy就是一个复数，复平面和实平面相仿，x轴表示复数的实部，y轴表示复数的虚部，例如在复平面上的点(2,2)表示复数2+2i，如果以-i为单位，复平面的纵轴就要向下指了。

2、 这个复数还可以用指数的形式表示，写作2e^(π/4) 虚数单位i就像实数中的1一样，我们认为1和-1不同，是因为我们日常生活中用1作为计数的单位，假设我们的老祖宗用-1作为计数单位，我们现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。

3、 -1比1多个负号，当然不方便，同样，研究复数中谁也不会多此一举用-i作为单位。

4、 规定了i为单位展开对复数的研究，是简便的也是合理的。

5、 的平方=-1i就是虚数单位高三数学课本上有我们将形如：Z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，并规定i^2=i*i=-1.x与y是任意实数，依次称为z的实部（real part)与虚部（imaginary part),分别表示为Rz=x , Im z=y. 易知：当y=0时，z=x+iy=x+0,我们就认为它是实数；当x=0时z=x+iy=0+iy我们就认为它是纯虚数。

6、设 Z1=x+iy是一个复数，称 Z2=x-iy为Z1的共轭复数。

7、 复数的四则运算规定为： （a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i， （a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i， （a＋bi）•（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i， （c与d不同时为零） （a＋bi）÷（c＋di）＝[(ac+bd) / (c^2+d^2)]＋[(bc－ad) / (c^2+d^2)] i， （c+di）不等于0 复数有多种表示形式，常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式。

8、 此外有下列形式。

9、 ①几何形式。

10、复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a，b ）表示。

11、这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。

12、也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

13、 ②向量形式。

14、复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。

15、这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。

16、 ③三角形式。

17、复数z＝a＋bi化为三角形式 z＝r（cosθ＋sinθi） 式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。

18、这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

19、 ④指 数形式。

20、将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数zz2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)]，若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ)，那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ)，n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1，2，3……）必须记住：z的n次方根是n个复数。

21、 复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。

22、复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。