余弦定理的定义和常见变形

一、余弦定理的定义和常见变形

1、余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即$a^2=$$b^2+$$c^2-$$2bc\cos A$，$b^2=$$c^2+$$a^2-$$2ca\cos B$，$c^2=$$a^2+$$b^2-$$2ab\cos C$。

2、余弦定理的常见变形

（1）$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$；

（2）$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$；

（3）$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。

3、利用余弦定理可以解决的问题

（1）已知三边，求各角；

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角；

（3）已知两边和其中一边的对角，求其他角和边。

二、余弦定理的相关例题

在$△ABC$中，$\cos C=\frac{2}{3}$，$AC=4$，$BC=3$，则$\cos B=$___

A．$\frac{1}{9}$ B．$\frac{1}{3}$ C．$\frac{1}{2}$ D．$\frac{2}{3}$

答案：A

解析：由余弦定理知$AB^2=$$AC^2+$$BC^2-$$2AC·BC·\cos C=$$4^2+$$3^2-$$2×$$4×$$3×$$\frac{2}{3}=9$，所以$AB=3$，所以$\cos B=\frac{3^2+3^2-4^2}{2×3×3}=$$\frac{1}{9}$。故选A。