区间套定理的内容是什么？

先定义什么是区间套：

设闭区间列{ [an, bn] } 具有如下性质：

① [an, bn]包含[an+1,bn+1 ], n=1,2, (其中的意思是[an+1,bn+1 ]是[an, bn]的子集)

② lim (bn-an)=0 (n→∞)。

则称{ [an, bn] } 为闭区间套，或简称区间套。

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下面是区间套定理：

若{ [an, bn] } 是一个区间套，则在实数r中存在唯一的点ξ，使得ξ∈[an, bn]，n=1,2, 即 an≤ξ≤bn, n=1,2,

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注：这个定理实际上表明了实数的完备性，实数是连续地充满整个数直线而没有间隙，而有理数就不具备这个性质。

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